容斥问题的本质是去除重复，而解题方法是公式法和图示法。首先优先使用公式法，两集合类容斥问题的公式为：总情况数－两个条件都不满足的个数=满足条件1的个数+满足条件2的个数-两个条件都满足的个数，能够直接套用公式的题目优先套用公式。当题目中出现“只”满足一个条件这样的字眼，由于公式当中无法直接求出，可使用图示法进行求解。

 

 

例题讲解，做好笔记

 

 

 

 

　　那么下面，小编带大家一起看几个例题，应用一下两集合类容斥问题的两种解题方法：

 

 

　　例题1：某单位计划从全部80名员工中挑选专项工作组成员，要求该组成员须同时有基层经历和计算机等级证书。已知，单位内有40人具有基层经历，有46人有计算机等级证书，既没有基层经历又未获得计算机等级证书的有10人。那么能够进入工作组的员工有（   ）人。

 

 

　　A.16

 

 

　　B.40

 

 

　　C.46

 

 

　　D.54

 

 

　　答案：A

 

 

　　解析：第一步，本题考查容斥问题。

 

 

　　第二步，能够进入工作组的员工即为两个条件都满足的人，设能够进入工作组的员工有x人，根据两集合容斥公式：总数－都不=A+B－AB，代入数据可得80-10=40+46-x，解得x=16人。因此，选择A选项。

 

 

　　某年级有学生100名，某次测验中数学满分的有62人，英语满分的有34人，两门课程都得满分的有11人，那么两门课程都没有得满分的有(    )人。例题2：

 

 

　　A.26

 

 

　　B.15

 

 

　　C.96

 

 

　　D.89

 

 

　　答案：B

 

 

　　解析：第一步，本题考查容斥问题。

 

 

　　第二步，设两门课程都没有得满分的有x人，根据二者容斥公式可得：62+34-11+x=100，解得x=15，即两门课程都没有得满分的有15人。因此，选择B选项

 

 

　　例题3：学校有300个学生选择参加地理兴趣小组，生物兴趣小组或者两个小组同时参加。如果80%学生参加地理兴趣小组，50%学生参加生物兴趣小组。问同时参加地理和生物兴趣小组的学生人数是多少？

 

 

　　A.240

 

 

　　B.150

 

 

　　C.90

 

 

　　D.60

 

 

　　答案：C

 

 

　　解析：第一步，本题考查容斥问题，属于二集合容斥类，用公式法解题。

 

 

　　第二步，共两个兴趣小组，其中80%的学生参加地理兴趣小组、50%的学生参加生物兴趣小组，根据两集合容斥原理公式：满足条件1的个数＋满足条件2的个数－两者都满足的个数＝总个数－两者都不满足的个数，设同时参加两个兴趣小组的学生占比为x，则有80%＋50%－x＝100%－0，解得x＝30%，那么同时参加两个兴趣小组的共有300×30%＝90（人）。因此，选择C选项。

 

 

　　例题4：某科学家做了一项实验，通过向若干只狒狒提供不限量的香蕉和香肠以研究其食性。结果表明，90%的狒狒有进食，其中吃香蕉的狒狒是吃香肠的狒狒数量的3倍，而两种食物都吃的狒狒是只吃香肠的狒狒数量的2/3，则未进食的狒狒是只吃香蕉的狒狒数量的：

 

 

　　A.1/5

 

 

　　B.3/10

 

 

　　C.2/13

 

 

　　D.4/15

 

 

　　答案：C

 

 

　　解析：第一步，本题考查容斥问题。

 

 

　　第二步，如下图：

 

 

 

 

　　设两种食物都吃的狒狒有2x只，则只吃香肠的有3x只，根据吃香蕉是吃香肠的3倍，可得吃香蕉的有（2x＋3x）×3＝15x只，进食的狒狒共15x＋3x＝18x只，占总数的90%，共计18x÷90%＝20x只狒狒，未进食的有2x只，是只吃香蕉的2/13。

 

 

　　因此，选择C选项。

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